Kurvendiskussion / Kurvenuntersuchungen

Mathematik einfach erklärt (Teilbereich der Analysis)

Kurvendiskussion / Kurvenuntersuchung Übersicht

In diesem Kapitel lernst du alles Wichtige zur Kurvendiskussion. Es geht darum bei einer Funktion alles untersuchen zu können:

Definitionsbereich, Wertebereich, Grenzwertverhalten, Symmetrie, Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Monotonie, Krümmungsintervalle, Anwendungen.

1. Definitionsbereich Beispiel 1

Der Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion soll untersucht werden. Gibt es da eine Definitionslücke? 

1. Definitionsbereich Beispiel 2

Der Definitionsbereich einer Wurzelfunktion soll untersucht werden. Worauf musst du dann achten? 

1. Definitionsbereich Beispiel 3

Der Definitionsbereich einer ln-Funktion wird hier untersucht. 

1. Wertebereich Beispiel 4

Der Wertebereich der quadratischen Funktion f(x) = x² - 1 soll untersucht werden. 

2. Grenzwertverhalten

 

Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen? 

 

3. Punkt- und Achsensymmetrie

Bei Kurvenuntersuchungen ist auch die Untersuchung auf Symmetrie ein wichtiges Kriterium. Wie Du eine Symmetrie ganz leicht herausfindest, dazu mehr in diesem Video.

4. Schnittpunkt mit der y-Achse Beispiel 1

Wie finde ich den Schnittpunkt mit der y-Achse? Ganz einfach :-). 

 

4. Schnittpunkte mit der x-Achse: Einfache Nullstelle

Wie finde ich den Schnittpunkt mit der x-Achse? Bei der y-Achse ist es (zugegeben) einfacher. Aber nach diesem Lernvideo auch kein Problem für Dich!

4. Schnittpunkt mit der x-Achse: Doppelte Nullstelle

Bei den Schnittpunkten mit der x-Achse unterscheidet man einfache, doppelte oder dreifache Nullstelle. In diesem Beispiel wird die doppelte Nullstelle am Beispiel erklärt. 

4. Schnittpunkte mit der x-Achse: Dreifache Nullstelle

Was hat eine dreifache Nullstelle für eine Bedeutung? 

5. Extrempunkte Beispiel 1

Wie du Extremstellen und Extrempunkte bei einer Funktion findest, wird dir hier erklärt.

5. Extrempunkte Beispiel 2

Die Extremstellen einer Funktion 3. Grades sollen bestimmt werden. 

6. Wendepunkte Beispiel 1

Wie du Wendestellen und Wendepunkte bei einer Funktion findest, wird dir hier erklärt. 

7. Wendepunkte Beispiel 2

Wie du die Wendepunkte einer Funktion bestimmst, kannst du an diesem Beispiel üben. 

8. Monotonie Beispiel 1

Eine quadratische Funktion soll auf Monotonie untersucht werden.  

8. Monotonie Beispiel 2

Eine Funktion 3. Grades soll auf Monotonie untersucht werden. 

9. Krümmungsintervalle

Für die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 1 sollen die Intervalle der Krümmung bestimmt werden.  

10. Anwendungsaufgabe Beispiel 1

Olafs Brockenwanderung

Olaf ist leidenschaftlicher Wanderer. An einem schönen Sommertag möchte er auf den Brocken wandern. Dieser hat eine Höhe von 1141 m ü. NHN. Nachdem Olaf eine kleine Pause auf einer Höhe von 800 m ü. NHN macht, zieht er um Punkt 12 Uhr weiter. Um 14.45 Uhr erreicht er die Spitze. Wie hoch ist er damit im Schnitt pro Stunde gestiegen?

10. Anwendung 2

Die Kaugummifirma

Ein Unternehmen für die Herstellung von Kaugummis bring ein neues Produkt auf den Markt. Um gut kalkulieren zu können, hat es jede Menge Marktforschung betrieben. Aus den gewonnenen Erkenntnissen ist bekannt, dass sich die Verkaufsentwicklung des neuen Produktes mit folgender Funktion sehr gut näherungsweise beschreiben lässt: f(x)=-0,0001t³+0,15t²+15t, 0<t<1500

Dabei steht t für die Anzahl in Tagen nach Verkaufsstart und f(t) ist die am Tag t verkaufte Menge. 

Aufgabe a.)

Aufgabe a.)

Wie viele Kaugummis können demnach 150 Tage nach Verkaufsstart verkauft werden? 

 

 

Aufgabe b.)

Aufgabe b.)

An welchem Tag verkauf das Unternehmen die meisten Kaugummis des neuen Produktes?

Aufgabe c.)

Aufgabe c.)

An dem Tag, an dem die Zunahme der täglichen Verkaufszahlen am größten ist, beschließt der Chef der Firma, seinen Lagerbestand zu erhöhen. Wann wird das demnach sein? 

10. Anwendungsaufgabe Beispiel 3

Die Grippewelle

Der Verlauf der Grippenwelle kann näherungsweise beschrieben werden durch folgende Funktion (siehe Tafelbild im Video). 

a) Wie viele Personen sind nach 10 Tagen erkrankt?

b) Nach wie vielen Tagen ist die Grippenwelle wieder vorbei?

c) Wann sind die meisten Personen krank und wie viele Personen sind es? 

d) Nach wie vielen Tagen nimmt die Anzahl der Erkrankten am stärksten zu?  

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Inhaltsverzeichnis

1. Gleichungen

2. Funktionen

3. Grundlagen der Differenzialrechnung

4. Tangente und Normale

5. Kurvendiskussion

6. Steckbriefaufgaben

7. Extremwertaufgaben

8. Integralrechnung

9. Anwendung der Differenzial- und Integralrechnung

10. Wachstum- und Zerfallsprozesse

11. Spezielle Themen zur Analysis

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