Extremwertaufgabe – Zylinder in der Kugel – (1)

 

 

 

 

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  • Dankeeee, endlich habe ich es kapiert! Daniel

  • Vielen lieben Dank für das Video. Wirklich sehr gut, es ist total verständlich erklärt und mir hat es wirklich weiter geholfen. Ihr macht ganz tolle Arbeit und eure Seite hilft mir ungemein weiter. Toll,das es so etwas gibt! Ganz Klasse! Liebe Grüße Cindy

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Extremwertaufgabe – Zylinder in der Kugel – (1)

Mathe Videos Zylinder in der Kugel

Mathe Video: Zylinder in der Kugel

Dieser Videoclip befasst sich mit dem Thema „Extremwertaufgabe“. In eine Kugel soll ein Zylinder mit maximalem Volumen eingefügt werden.

Zylinder mit maximalem Volumen
Bei einer Extremwertaufgabe geht es immer darum, einen Extremwert zu finden. Das ist entweder ein maximaler Wert oder eben ein minimaler. Zuerst wird eine sogenannte Zielfunktion aufgestellt. Dazu ist die Frage wichtig: „Was soll maximiert oder minimiert werden?“. Dann brauchen wir eine sogenannte Hilfsfunktion (oder auch „Nebenbedingung“). Mit Hilfe dieser Hilfsfunktion wird es uns dann möglich, die Fragestellung zu lösen…

Aufgabenstellung
In eine Kugel mit dem Radius R=1 ist ein Zylinder mit maximalem Volumen einzubauen. Bestimmen Sie Radius r und Höhe h des Zylinders.

Die Aufteilung der Videoclips:
Zylinder in der Kugel (1): Aufstellen der Zielfunktion und der Hilfsfunktion (s267a)
Zylinder in der Kugel (2): Finden des Extremwerts – Teil 1 (s267b)
Zylinder in der Kugel (3): Finden des Extremwerts – Teil 2 (s267c)
Zylinder in der Kugel (4): Extremwert auf Maximum überprüfen (s267d)

Vorgehensweise bei einer Extremwertaufgabe:
1.) Überlegen, WAS maximiert/minimiert werden soll
2.) Zielfunktion aufstellen (also die Funktion für das, was maximiert/minimiert werden soll)
3.) Nebenbedingung finden/aufstellen
4.) Nebenbedingung so umstellen, dass eine unbekannte Größe auf der linken Seite, der Rest auf der rechten Seite steht
5.) Jetzt kann diese unbekannte Größe in der Zielfunktion ersetzt werden (nun haben wir eine Zielfunktion mit nur einer unbekannten Größe)
6.) Diese neue Zielfunktion ableiten und die Ableitung gleich 0 setzen (Extremwert finden)
7.) Der gefundene Wert / die gefundenen Werte kann/können sowohl Maximum als auch Minimum sein. Also: Zweite Ableitung
8.) In die zweite Ableitung den gefundenen Wert / die gefundenen Werte einsetzen und Ergebnis interpretieren:
Wenn die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ ist, ist es ein Maximum, wenn sie positiv ist, dann ein Minimum.
9.) Wir haben ja noch immer die Zeile, in der eine unbekannte Größe auf der linken Seite steht. Diese Variable können wir jetzt durch den gefundenen Wert berechnen.
10.) Gefundenen Extremwert in die Ausgangsgleichung einsetzen, um den y-Wert zu erhalten (wenn es in der Aufgabe gefragt ist.

 

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