Reziproke Funktionen (1)

 

 

 

 

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  • Dankeeee, endlich habe ich es kapiert! Daniel

  • Vielen lieben Dank für das Video. Wirklich sehr gut, es ist total verständlich erklärt und mir hat es wirklich weiter geholfen. Ihr macht ganz tolle Arbeit und eure Seite hilft mir ungemein weiter. Toll,das es so etwas gibt! Ganz Klasse! Liebe Grüße Cindy

 

Aufstellen einer reziproken Funktion

WAS WIRD HIER ERKLÄRT?

Darum geht´s …
Wir errechnen eine reziproke Funktion zu einer gegebenen Funktion und bestimmen dann Tangenten dieser neu erstellten Funktion, die zur ursprünglich gegebenen Funktion senkrecht verlaufen.

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
Der Graph der Funktion g ist eine Gerade. Welche Tangenten an den Graphen der zu g reziproken Funktion f verlaufen orthogonal zu dieser Geraden? Zeichne und rechne.

So wird´s gerechnet …

AUSFÜHRLICHE ERKLÄRUNG: REZIPROKE FUNKTIONEN
Eine zu g(x) reziproke Funktion ist der Kehrwert der Funktion g(x).
Wir müssen zu aller erst also klären, was der Kehrwert von g(x) ist.

In unserem Fall:
g(x) = 3 - 3/2 x
f(x) = 1 / {g(x)} = 1 / {3 - 3/2 x} = 1 / {6/2 - 3/2 x} = 1/{{6-3x}/2} = 2 / {6 - 3x}

Jetzt hätten wir also schon mal unser f(x) gefunden.

Nun müssen wir die Tangenten finden, die senkrecht zu g(x) stehen.
Eine Gerade g_2 steht senkrecht zur Gerade g_1, wenn für die Steigung gilt:

m_{g2} = - 1/{m_g1}

Nun müssen wir uns also erstmal die Steigung von g(x) anschauen.
Die Steigung ist immer die erste Ableitung. Also gilt:
g'(x) = - 3/2

Somit gilt in unserem Fall, dass die Steigung von f(x) also f'(x) = - 1 / {- 3/2} = 2/3 sein muss.
Da die Steigung – wie erwähnt – immer die erste Ableitung ist, muss also gelten:
f'(x) = 2/3

Wie lautet nun f'(x)?
Hier die Rechnung:

f(x) = 2 / {6 - 3x} = 2(6-3x)^{-1}
Nun brauchen wir die Kettenregel.

f'(x) = -2(6-3x)^{-2}(-3) = 6(6-3x)^{-2} = 6/(6-3x)^2
Und genau diese Ableitung soll jetzt mit 2/3 gleichgesetzt werden.
f'(x) = 2/3
6/(6-3x)^2 = 2/3
Daraus folgt nach Umstellen und nutzen der pq-Formel x_1 = 1 und x_2 = 3.

Nun müssen wir als Nächstes die Tangentengleichungen aufstellen:
Wir kennen die allgemeine Form der Tangentengleichung:
t(x) = m_t x + b_t
Wir müssen die Werte m_t und b_t rauskriegen.
Dazu nutzen wir die Info, dass x=1 bzw. x=3 ist.
Rechnen wir das erstmal mit x = 1.
Das t(x) ist ja der dazugehörige y-Wert. Und den erhalten wir immer durch Einsetzen in die Funktion, hier also in f(x).
Also:
f(1) = 2 / (6 - 3*1) = 2/3.
Also ist auch unser t(x) = 2/3.
Nun setzen wir alles, was wir kennen ein, es bleibt als einzige Unbekannte das b_t übrig:
Aus
t(x) = m_t x + b_t wird
2/3 = 2/3 * 1 + b_t
Wenn wir das nach b_t umformen, erhalten wir:
b_t = 0.

Somit ist unsere erste Tangentengleichung:
t_1(x) = 2/3 x

Wenn wir genau so mit der zweiten Gleichung verfahren, dann erhalten wir also zweite Tangentengleichung:
t_2(x) = 2/3 x - 8/3

 

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1 Kommentare:

  1. a.waerncke Mai 20, 2014

    Sehr gut und ausfühlich erklärt ! Danke

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