Tangenten- und Normalengleichung (4.3)

Erklärung zu Tangenten- und Normalengleichungen

Fläche eines Dreiecks soll bestimmt werden, dass durch eine Tangente, Normale und die y-Achse zustande kommt.

 

Die Fläche eines von y-Achse, Tangente und Normale eingeschlossenes Dreiecks wird berechnet

Tangente / Normale
Wir wollen die Fläche eines Dreiecks berechnen, das von der y-Achse sowie einer Tangente und der dazugehörigen Normalen aufgespannt wird. Dazu nutzen wir die Integralrechnung.

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
Die Tangente t(x) = 3/2 x - 3/2 pi - 1 und die dazugehörige Normale n(x) = - 2/3 x + 2/3 pi - 1 und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Berechne die Fläche des Dreiecks.

So wird´s gerechnet …

Ausführliche mathematische Erklärung

FLÄCHENBERECHNUNG EINES DREIECKS

1. Schritt
Wir sehen, dass die Normale im kompletten Bereich von 0 bis pi oberhalt der Tangente verläuft. Wenn wir also eine Differenzfunktion bilden, gibt es nur eine einzige Stelle, bei der wir auf den Wert 0 stoßen, nämlich bei x=pi. Wozu aber sollten wir die Differenzfunktion überhaupt bilden?
Ganz einfach: Wenn uns die Fläche zwischen der Tangente und der Normale interessiert, dann ist das genau die Differenz beider Funktionen im gewünschten Intervall. Und wenn wir das Wort „Fläche“ hören, dann wissen wr, dass wir die Integralrechnung anwenden können… Wir beginnen also mit der Berechnung der Differenzfunktion:
d(x) = 2/3 x + 2/3 pi - 1 - (3/2 x - 3/2 pi - 1) = - 13/6 x + 13/6 pi

2. Schritt
Nun interessiert uns das Integral dieser Differenzfunktion im Intervall von 0 bis pi.
Also rechnen wir:
int{0}{pi}{d(x)}dx = int{0}{pi}{(- 13/6 x + 13/6 pi)}dx = delim{[}{- 13/12 x^2 + 13/12 pi x}{]}
Wie das mit der Integralrechnung tatsächlich funktioniert findest Du zum Beispiel hier.

Und wenn wir nach allen Regeln der Kunst die eckige Klammer ausrechnen kommen wir letzten Endes auf 13/12 pi^2 = 10,7 FE

 

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