Arithmetische Reihe – Die klingenden Gläser (1)

 

 

 

 

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  • Dankeeee, endlich habe ich es kapiert! Daniel

  • Vielen lieben Dank für das Video. Wirklich sehr gut, es ist total verständlich erklärt und mir hat es wirklich weiter geholfen. Ihr macht ganz tolle Arbeit und eure Seite hilft mir ungemein weiter. Toll,das es so etwas gibt! Ganz Klasse! Liebe Grüße Cindy

 

Arithmetische Reihe - Die klingenden Gläser (1)Aufgabe:
Auf einer Party mit 18 Studenten stößt jeder mit jedem einmal an. Berechne, wie oft die Gläser klingen.

So geht’s:
Wenn auf der party 18 Personen feiern und jeder mit jedem einmal anstößt, dann bedeutet das Folgendes:

Person 1 muss mit den 17 anderen personen im Raum anstoßen. Es erklingen also 17 Mal die Gläser.
Nun ist Person 2 dran. Person 2 hat ja bereits mit Person 1 angestoßen, muss also nur noch mit den 16 verbleibenden Personen anstoßen. Nun zieht Person 3 los. Person 3 hat bereits mit Person 1 und Person 2 angestoßen. Person 3 muss also nur noch mit den verbleibenden 15 Personen anstoßen.
So geht das immer weiter. Person 18 ist die Person, die von sich aus gar nicht mehr los ziehen muss, um Gläser zu stoßen, denn jede andere Person ist bereits zum Gläser stoßen auf die zugekommen. Person 17 wiederum muss nur noch mit Person 18 anstoßen usw.

Fassen wir das in einer Übersicht zusammen:
Person 1: 17 mal
Person 2: 16 mal
Person 3: 15 mal

Person 17: 1 mal
Person 18: mMss gar nicht mehr anstoßen

Wie oft erklingen die Gläser also jetzt? Zusammengerechnet sind das:
1 + 2 + 3 + … + 15 + 16 + 17 = 153 mal.

Aber natürlich gibt es dafür auch eine Formel.
Und das ist die Gauss’sche Formel für die Aufaddierung von 1 bis n (wobei n in diesem Fall 17 wäre).
Wir haben zwar n=18 Studenten auf der Party, aber wir addieren ja nur bis „n-1“, also bis 17 (in diesem konkreten Fall). Wenn wir also die Formel für die Aufaddierung von 1 bis n benutzen, dann können wir auch das n als 17 definieren, wenn wir brauchen ja nur die Aufaddierung von 1 bis 17 (im Videoclip wird eine weitere Variante gezeigt).

Die Gauss’sche Formel zur Aufaddierung von 1 bis n lautet:

sum{i=1}{n}{i} = 1/2 n (n+1)
Für n=17 erhalten wir also:
sum{i=1}{17}{i} = 8,5 (17+1) = 153

Und damit wäre die Aufgabe gelöst.

Antwortsatz:
Bei einer Studentenparty mit 18 Gästen, auf der jeder Gast mit jedem einmal anstößt, erklingen insgesamt 153 ml die Gläser.

 

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