Bei einer typischen Kurvendiskussion ist die Funktion gegeben und unsere Aufgabe ist es, unter anderem Nullstellen, Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte) sowie Wendepunkte  zu berechnen.

Bei Steckbriefaufgaben wird der Spieß umgedreht. Hier werden gewisse Eigenschaften der Funktion genannt und unsere Aufgabe ist es, den Funktionsterm herauszubekommen.

Die Aufgabe lautet:

Eine Parabel 3. Ordnung hat in O(0|0) einen Wendepunkt und in P(3|-2) einen Tiefpunkt. Mit diesen Infos können wir die Funktion komplett aufstellen…

Es ist eine Parabel dritter Ordnung, das bedeutet:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Die Funktion geht laut Aufgabenstellung durch den Koordinatenursprung.

Das „absolute Glied“ (der Term, der nicht mit x multipliziert wird, hier also das d) ist immer der y-Achsenabschnitt.

In diesem Fall also: d = 0.

Also haben wir jetzt:
f(x) = ax³ + bx² + cx

Ein weiterer bekannter Punkt ist: P(3|-2)

Das bedeutet:

f(3) = -2:

I. 27a + 9b + 3c = -2

Im Punkt P(3|-2) befindet sich ein Tiefpunkt. Das bedeutet, dass dort die Steigung (also die 1. Ableitung) gleich null ist:

f ‚(x) = 3ax² + 2bx + c

f ‚(3) = 0:

II. 27a + 6b + c = 0

Und wir haben einen Wendepunkt in O(0|0). Das bedeutet, dass dort die zweite Ableitung (also die Krümmung) gleich null ist:

f “(x) = 6ax + 2b

f “(0) =0:

2b = 0 (somit also b = 0).

Wir erhalten, nach dem wir I. und II. entsprechend der neuen Erkenntnis, dass b ebenfalls 0 ist, bearbeiten, nun:

I. 27a + 3c = -2
II. 27a + c = 0

Wenn wir I-II rechnen erhalten wir:

III: 2c = -2 | :2
c = -1

Diesen Wert setzen wir nun in II. ein und erhalten dadurch den Wert für a:

I. 27a – 1 = 0   | +1
27a = 1   | : 27
a = 1/27

Wir erhalten also folgende Funktion:

f(x) = (1/27) x³ – x

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