Reziproke Funktionen (2)

 

 

 

 

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  • Dankeeee, endlich habe ich es kapiert! Daniel

  • Vielen lieben Dank für das Video. Wirklich sehr gut, es ist total verständlich erklärt und mir hat es wirklich weiter geholfen. Ihr macht ganz tolle Arbeit und eure Seite hilft mir ungemein weiter. Toll,das es so etwas gibt! Ganz Klasse! Liebe Grüße Cindy

 

WAS WIRD HIER ERKLÄRT?

Berechnen reziproker Funktionen

Reziproke Funktionen und Tangentengleichungen aufstellen

Darum geht´s …
In diesem Videoclip wird nicht nur erklärt, was eine reziproke Funktion überhaupt ist, sondern auch, wie sie berechnet wird. Es wird eine konkrete Beispielaufgabe durchgerechnet, bei der es außerdem um das Erstellen einer Tangentengleichung geht.

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
Gegeben ist die Gerade g(x) = - 1/4 x. Welche Tangenten an den Graphen der zu g reziproken Funktion f verlaufen orthogonal zu dieser Geraden? Zeichne und rechne.

So wird´s gerechnet …

AUSFÜHRLICHE ERKLÄRUNG: REZIPROKE FUNKTIONEN

Wenn wir von einer reziproken Funktion sprechen, dann meinen wir den Kehrwert einer Funktion. Wenn also f(x) die „zu g(x) reziproke Funktion“ sein soll, dann gilt:
f(x) = 1/{g(x)}

Im vorliegenden Fall müssen wir also klären, was der Kehrwert von g(x) = - 1/4 x ist.

Also:
f(x) = 1 / {- 1/4 x} = - 4/x

Laut Aufgabenstellung geht es darum, die Tangenten zu finden, die senkrecht zu g(x) stehen.
Dabei gilt folgende Regel:
Eine Gerade g_2 steht senkrecht zur Gerade g_1, wenn für die Steigung gilt:

m_{g2} = - 1/{m_g1}

Also gilt es erstmal, sich die Steigung von g(x) anzuschauen.
Die Steigung ist immer die erste Ableitung. Also gilt:
g'(x) = - 1/4

Also gilt in unserem vorliegenden Fall, dass die Steigung von f(x) also f'(x) = - 1 / {- 1/4} = 4 sein muss.

Da die Steigung – wie erwähnt – immer die erste Ableitung ist, muss also gelten:
f'(x) = 4

Jetzt müssen wir also noch f'(x) herausfinden…

f(x) = - 4/x = -4x^{-1}

f'(x) = -4(-1)x^{-2} = 4/x^2
Und genau diese Ableitung soll jetzt mit 4 gleichgesetzt werden.
f'(x) = 4
4/x^2 = 4

Daraus folgt nach Umstellen und nutzen der pq-Formel x_1 = -1 und x_2 = 1.

Nun stellen wir die Tangentengleichungen auf:

Allgemeine Form der Tangentengleichung:
t(x) = m_t x + b_t
Wir müssen die Werte m_t und b_t rauskriegen.

Dazu nutzen wir die Info, dass x=-1 bzw. x=1 ist.

Rechnen wir das der Einfachheit wegen erstmal mit x = 1.
Das t(x) ist ja der dazugehörige y-Wert. Und den erhalten wir immer durch Einsetzen in die Funktion, hier also in f(x) = - 4/x.

Also:
f(1) = -4 / 1 = -4.
Also gilt: t(x) = -4.
Nun setzen wir alles, was wir kennen ein, es bleibt als einzige Unbekannte das b_t übrig:
Aus
t(x) = m_t x + b_t wird
-4 = 4 * 1 + b_t
Wenn wir das nach b_t umformen, erhalten wir:
b_t = -8.

Somit ist eine unserer beiden Tangentengleichungen:
t_1(x) = 4x - 8

Wenn wir genau so mit der zweiten Gleichung verfahren, dann erhalten wir als zweite Tangentengleichung:
t_2(x) = 4x + 8

 

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