Exponentialfunktion: Kapitalverzinsung II

 

Darum geht´s …expo-kapital

Bei Exponentialfunktionen wird ein Anfangsbestand von Zeiteinheit zu Zeiteinheit stets mit dem selben Faktor vervielfacht oder eben verringert (je nach Faktor). Dadurch haben wir exponentielles Wachstum oder eben eine exponentielle Abnahme eines Bestands. Wie der Name des Videos bereits verrät, geht es hier um das Wachstum eines Bakterienbestandes. Die Aufgabe heißt:

Ein Kapital von 1000 Euro wird mit 8% Zinsen angelegt.
a) In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?
b) Zeige, dass die Verdopplungszeit nicht davon abhängt, wie groß das Anfangskapital ist!

Die Aufgabe ist so zu lösen:

Die grundsätzliche Formel für das exponentielle Wachstum lautet (wenn es um Kapital geht):

Kn = K0 * (1 + (p/100))n

Wenn unser Anfangskapital K0 = 1000€ ist und sich dieses Kapital verdoppeln soll, dann ist Kn = 2000€.
Unser Prozentsatz ist p = 8.
Wir erhalten also mit konkreten Werten eingesetzt:

2000€ = 1000€ * 1,08n

Und diese GLeichung müssen wir jetzt nach n umformen. Wenn wir durch 1000€ teilen erhalten wir zunächst:
1,08n = 2

Nun müssen wir an die Hochzahl (also an das n) kommen. Das machen wir mit dem Logarithmus.
1,08n = 2 | ln()
ln(1,08n) = ln(2)

Um an die Hochzahl zu kommen, erinnern wir uns an die Logarithmusregel:
loga(bc) = c loga(b)

Daraus folgt in unserem Fall:
n ln(1,08) = ln(2) | :ln(1,08)
n = 9

 

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