Darum geht´s …

Bei Kurvenuntersuchungen wird auch berechnet, in welchen Punkten die Funktion die Krümmung wechselt. Der Punkt, in dem eine Funktion die Krümmung wechselt, nennt sich Wendepunkt. Dabei gibt es den „Rechts-Links-Krümmungswechsel“ und den „Links-Rechts-Krümmungswechsel“.

Wenn der Wendepunkt nicht gerade ein Sattelpunkt ist, dann ist er immer die steilste Stelle zwischen zwei Extrempunkten. Die notwendige Bedingung ist, dass die zweite Ableitung gleich null sein muss und die sogenannte „hinreichende Bedingung“ ist, dass die dritte Ableitung ungleich null ist.

Wir berechnen den Wendepunkt, in dem wir die zweite Ableitung, die die Krümmung wiedergibt, gleich null setzen. Denn im Wendepunkt selbst ist die Krümmung immer null.

Wir bilden also erstmal die zweite Ableitung:

Vorliegende Funktion: f(x) = x⁴ – 12x²

f ‚(x) = 4x³ – 24x
f “(x) = 12x² – 24
f “(x) = 0:

12x² – 24 = 0        | + 24
12x² = 24     | :12

x² = 2   | √
x₁ = -√(2)
x₂ = √(2)
Nun müssen wir diese x-Werte noch auf die hinreichende Bedingung prüfen und in die dritte ABleitung einsetzen. DIe lautet:
f“'(x) = 24x – 24
An dieser Stelle sehen wir bereits, dass sowohl f“'(-√2) also auch f“'(√2) ungleich null sein werden, womit klar ist, dass wir Wendepunkte vorliegen haben.
Durch Einsetzen der x-Werte in die Hauptfunktion f(x) erhalten wir nun noch die jeweiligen y-Werte:
f(-√2) = -20

f(√2) = -20

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