Darum geht´s …

Zu finden sind zwei Zahlen, die in der Summe 18 ergeben und deren Produkt maximal ist. Da hätten wir natürlich einige:

Zahl 1: 11
Zahl 2: 7
In der Summe ergeben diese beiden Zahlen 18.
Das Produkt der beiden wäre 77.

Alternativ:

Zahl 1: 10
Zahl 2: 8
Produkt: 80

Die 80 ist schon mal höher als die 77. Aber wie erhalten wir auf mathematischem Wege die „Beste Kombination“ (also die Kombination zweier Zahlen, deren Produkt maximal ist)? Hier hilft uns das Thema „Extremwertaufgaben“. Dies ist ein konkretes Beispiel, um diese Thematik zu verstehen. Zu finden sind Hilfsfunktion, Nebenbedingung, Zielfunktion und wir müssen ableiten können…

Den mathematischen Weg zeigt unser Matheexperte Stefan in diesem Lernvideo.

Bei Extremwertaufgaben gibt es immer etwas, das maximal oder minimal werden soll. In diesem Fall soll das Produkt zweier Zahlen maximal werden. Wir nennen diese beiden Zahlen u und v. Im ersten Schritt müssen wir die Größe, die optimiert werden soll, als Formel schreiben:
f(u,v) = u ⋅ v

Dies ist die Hauptfunktion. Diese hängt aber von zwei Variablen ab. Das müssen wir so ändern, dass die Funktion nur von einer Variable abhängig ist. Dazu hilft uns die Nebenbedingung. Diese lautet, dass die Summe der beiden Zahlen 18 ergeben soll.

Also:
u + v = 18

Wir formen nach einer der beiden Variablen um, zum Beispiel:
v = 18 – u

Und diese Variable setzen wir nun ein in die Hauptfunktion:
f(u) = u ⋅ (18 – u) = 18u – u²

Nun ist die Funktion nur noch von einer Variablen abhängig (Zielfunktion).
Von dieser Funktion suchen wir das Maximum, also müssen wir die erste Ableitung gleich 0 setzen:
f ‚(u) = 18 – 2u
f ‚(u) = 0
18 – 2u = 0 –> u = 9

Wir wissen nun, dass bei u=9 ein Extremwert liegt. Also entweder ein Hoch- oder Tiefpunkt.
Das prüfen wir durch die zweite Ableitung:
f “(u) = -2
Wir sehen, dass die zweite Ableitung negativ ist. Das bedeutet, dass der gefundene Extremwert ein Maximum ist.
Wenn u=9 ist, dann nutzen wir nun die Nebenbedingung, um auch das v rauszubekommen:

u + v = 18
9 + v = 18   | -9
v = 9

Wenn also u und v 9 sind, dann ergibt sich die Summe 18 und das Produkt (81) ist maximal.

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