Tangenten- und Normalengleichung (4.1)

 

 

 

 

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  • Dankeeee, endlich habe ich es kapiert! Daniel

  • Vielen lieben Dank für das Video. Wirklich sehr gut, es ist total verständlich erklärt und mir hat es wirklich weiter geholfen. Ihr macht ganz tolle Arbeit und eure Seite hilft mir ungemein weiter. Toll,das es so etwas gibt! Ganz Klasse! Liebe Grüße Cindy

 

So wird die Tangentengleichung bestimmt (und ihre dazugehörige Normale)

Tangenten- und Normalengleichung (4)

INHALT DER MATHE-ERKLÄRUNG
In diesem Übungsvideo wird gezeigt, wie eine Tangentengleichung sowie die dazugehörige Normale mathematisch bestimmt werden.

Was ist überhaupt eine Tangente?
Eine Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt lediglich berührt (und sie NICHT schneidet), wird „Tangente“ genannt. Oder anders gesagt: Wenn eine Gerade eine gegebene Funktion in einem bestimmten Punkt nicht schneidet, sondern sie nur berührt (also tangiert), dann sprechen wir von der “Tangente”.

Wozu brauchen wir Tangenten?
Tangenten zeigen sehr anschaulich, ob wir im Graphen eine positive oder negative Steigung haben. Außerdem lassen sich an die Tangenten Steigungsdreiecke einzeichnen, aus denen wir dann die Steigung ablesen können.

Was ist eine Normale?
Die Gerade, die zur Tangente „orthogonal“, also rechtwinklig (senkrecht) steht, nennt sich „Normale“.

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x) = -1 -1,5sin(x) ist gegeben.
Der Punkt P(pi ; -1) liegt auf K. Die Tangente und Normale in P bilden mit der y-Achse ein Dreieck. Bestimmen Sie Tangenten- und Normalengleichung im gegebenen Punkt.

So wird´s gerechnet …

 

TANGENTEN- UND NORMALENGLEICHUNG BESTIMMEN

Schritt 1
Die Tangentengleichung lautet t(x) = m_t x + b_t
Wir haben eine Gleichung mit 4 Unbekannten Größen.
Als Erstes kümmern wir uns um die Steigung m_t.
Wir erinnern uns an den Merksatz „Die 1. Ableitung einer Funktion ist ihre Steigung“.
Wenn wir also die Steigung an der Stelle x = pi wissen möchten, dann berechnen wir somit die 1. Ableitung an eben genau dieser Stelle.

Also: f'(x) = -1,5 cos(x)

Wie trigonometrische Größen abgeleitet werden sieht Du hier.

Und nun schauen wir, wie die Steigung (also die 1. Ableitung) an der Stelle x = pi aussieht.

f'(pi) = -1,5 cos(pi) = 1,5
Wie Du relativ leicht ohne Taschenrechner herleiten kannst, wie die Standardgrößen in der Trigonometrie berechnet werden können, findest Du hier.

Schritt 2
Wir kennen jetzt also schon mal die erste Größe unserer Tangentengleichung. Als Zweites interessiert uns der sogenannte y-Achsenabschnitt, also b_t.

Diese Größe erhalten wir durch einen kleinen „Trick“.
Wir wissen, dass der Punkt P(pi;-1) ein Punkt der Tangentengleichung ist, denn genau daran legen wir ja die Tangente an. Somit kennen wir einen x- und einen dazugehörigen y-Wert, der zur Tangentengleichung gehört. Also setzen wir diese zwei Werte in die Tangentengleichung ein und erhalten dann eine Gleichung, in der nur noch b_t unbekannt ist. Und nach dieser Größe stellen wir die Gleichung dann um. Wir dürfen dabei nicht vergessen, dass t(x) nichts anderes ist als der y-Wert.

t(x) = 1,5x + b_t
Daraus wird
-1 = 1,5pi + b_t
b_t = -1 - 1,5pi
Wie Gleichungen umgestellt werden erfährst Du hier.

Jetzt kennen wir also sowohl m_t als auch b_t.
Damit können wir jetzt die Tangentengleichung aufstellen:
t(x) = 1,5x - 1 - 1,5pi

Schritt 3
Jetzt schauen wir uns einfach an, wie die Normalengleichung allgemein aussieht:
n(x) = - 1/m_t x + b_n
Und auch hier verfahren wir so wir bereits in Schritt 2:
Auch die Normale geht durch den Punkt P(pi;-1).
Somit ergibt sich folgende Gleichung:

-1 = -1/{1,5} pi + b_n
Der Bruch -1/{1,5} ist nach Erweiterung mit 2 das Gleiche wie -2/3. Also:
-1 = -2/3 pi + b_n

Daraus folgt:
b_n = 2/3 pi - 1

Und daraus wiederum folgt die Normalengleichung:
n(x) = -2/3 x + 2/3 pi - 1

 

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