Bestimmen der Tangenten- und der Normalengleichung

Darum geht´s …
In diesem Lernvideo wird eine Übungsaufgabe zum Thema Tangenten- und Normalengleichung erkärt.

Was ist überhaupt eine Tangente?
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem Punkt „tangiert“, auf deutsch: berührt.

Wozu brauchen wir Tangenten?
Mit Tangenten lässt sich die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt auch zeichnerisch ermitteln. Dazu legen wir die Tangente an den entsprechenden Punkt an, zeichnen das sogenannte Steigungsdreieck und lesen an diesem dann die Steigung ab. Ist aber nur ein Beispiel…

Was ist eine Normale?
Eine Normale ist nichts weiter als eine Gerade, die zur Tangente senkrecht steht.

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
K ist das Schaubild der Funktion .
Bestimmen Sie die Gleichung von Tangente t und Normale n an K im Kurvenpunkt .

So wird´s gerechnet …

Ausführliche mathematische Erklärung

TANGENTEN- UND NORMALENGLEICHUNG BESTIMMEN

Schritt 1
Als erstes müssen wir zum gegebenen x-Wert den dazugehörigen y-wert finden. Den erhalten wir, in dem wir den x-Wert in die ganz normale Funktion einsetzen.

Schritt 2
Jetzt schauen wir uns die Tangentengleichung an:

Mit ist die Steigung gemeint. Merksatz: „Die erste Ableitung einer Funktion ist die Steigung!“
Also schauen wir uns die 1. Ableitung an besagter Stelle, also für an.
Die 1. Ableitung von ist
Somit:

Schritt 3
Von der Tangentengleichung ist jetzt schonmal die Steigung bekannt. Um auch rauszukriegen, nutzen wir die Information, dass der Punkt, durch den die Tangente geht, also , bekannt ist. Dadurch sind uns das x und das t(x), also y das y, jetzt durch konkrete Werte ersetzbar.

Aus
wird somit

Das lösen wir nun nach auf und erhalten

Das ergibt folgende Tangentengleichung:

Schritt 4
In die allgemeine Normalengleichung werden nun analog die Werte eingesetzt (auch hier gilt und

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