Tangenten- und Normalengleichung (2)

 

Tangenten-und-Normalengleichung-2

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Darum geht´s …
Hier geht es um die Berechnung der Tangenten- sowie der Normalengleichung.

Was ist überhaupt eine Tangente?
Grundsätzlich ist eine Tangente erst einmal eine Gerade. Das heißt, die allgemeine Gleichung lautet y = m_t x + b_t.

Das Besondere an der Tangente ist, dass sie die gegebene Funktion in einem bestimmten Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt, also „tangiert“.

Wozu brauchen wir Tangenten?
Grafisch dargestellt zeigt eine Tangente sehr deutlich, ob wir eine positive oder negative Steigung haben, also ob es auf- oder abwärts geht.

Was ist eine Normale?
Die Gerade, die „orthogonal“ (also senkrecht) zur Tangente im vorgegebenen Punkt verläuft, heißt „Normale“. Die Normalengleichung lautet n(x) = - 1/m_t x + b_n

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
K ist das Schaubild der Funktion f(x) = e^{2x} - 2.
Bestimmen Sie die Gleichung von Tangente t und Normale n an K im Kurvenpunkt P(0 | -1).

So wird´s gerechnet …

Ausführliche mathematische Erklärung

TANGENTEN- UND NORMALENGLEICHUNG BESTIMMEN

Schritt 1
Wenn wir die Tangentengleichung y = m_t x + b_t suchen, dann interessiert uns erstmal die Steigung m_t. Wir erinnern uns (hoffentlich) an den Merksatz, dass die 1.Ableitung einer Funktion die Steigung ist. Also wollen wir wissen, welche Steigung die Funktion f(x) = e^{2x} - 2 im gegebenen Punkt P(0;-1) hat. Der x-Wert ist bekannt, also interessiert uns die 1. Ableitung bei x=0.

Wir brauchen also f'(x).
Wir müssen also eine E-Funktion ableiten (Welche Regeln wir dabei beachten müssen findest Du unter anderem auch hier).

Also:
f'(x) = 2e^{2x}

Somit
f'(0) = 2e^{0} = 2

Also ist m_t = 2

Schritt 2
Nochmal ein Blick auf die Tangentengleichung:
t(x) = m_t x + b_t

Als zweite Größe interessiert uns neben der Steigung m_t auch der y-Achsenabschnitt, also b_t.

Da die Tangente an den Punkt P(0;-1) angelegt wird, ist damit die Frage geklärt. Denn zu x=0 gehört offensichtlich der y-Wert y=-1 und DAS ist unser y-Achsenabschnitt.

Wir kennen jetzt also die Tangentengleichung konkret:
t(x) = 2x -1

Schritt 3
Jetzt geht es nur noch darum, konkrete Werte in die Normalengleichung n(x) = - 1/m_t x + b_n einzusetzen.
Auch hier ist der y-Achsenabschnitt b_n=-1.

Wir erhalten somit
n(x) = - 1/2 x -1

 

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