Tangenten- und Normalengleichung (3)

 

 

 

 

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  • Dankeeee, endlich habe ich es kapiert! Daniel

  • Vielen lieben Dank für das Video. Wirklich sehr gut, es ist total verständlich erklärt und mir hat es wirklich weiter geholfen. Ihr macht ganz tolle Arbeit und eure Seite hilft mir ungemein weiter. Toll,das es so etwas gibt! Ganz Klasse! Liebe Grüße Cindy

 

Tangenten- und Normalengleichung (3)

Bestimmen der Tangenten- und der Normalengleichung

Darum geht´s …
In diesem Lernvideo wird eine Übungsaufgabe zum Thema Tangenten- und Normalengleichung erkärt.

Was ist überhaupt eine Tangente?
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem Punkt „tangiert“, auf deutsch: berührt.

Wozu brauchen wir Tangenten?
Mit Tangenten lässt sich die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt auch zeichnerisch ermitteln. Dazu legen wir die Tangente an den entsprechenden Punkt an, zeichnen das sogenannte Steigungsdreieck und lesen an diesem dann die Steigung ab. Ist aber nur ein Beispiel…

Was ist eine Normale?
Eine Normale ist nichts weiter als eine Gerade, die zur Tangente senkrecht steht.

Folgende Übungsaufgabe wird erklärt:
K ist das Schaubild der Funktion f(x) = 2cos(x) - 1.
Bestimmen Sie die Gleichung von Tangente t und Normale n an K im Kurvenpunkt P(pi/3 ; f(pi/3) ).

So wird´s gerechnet …

Ausführliche mathematische Erklärung

TANGENTEN- UND NORMALENGLEICHUNG BESTIMMEN

Schritt 1
Als erstes müssen wir zum gegebenen x-Wert den dazugehörigen y-wert finden. Den erhalten wir, in dem wir den x-Wert in die ganz normale Funktion f(x) = 2cos(x) - 1 einsetzen.
f(pi/3) = 2cos(pi/3) - 1 = 0

Schritt 2
Jetzt schauen wir uns die Tangentengleichung an:
t(x) = m_t x + b_t
Mit m_t ist die Steigung gemeint. Merksatz: „Die erste Ableitung einer Funktion ist die Steigung!“
Also schauen wir uns die 1. Ableitung an besagter Stelle, also für x=pi/3 an.
Die 1. Ableitung von f(pi/3) = 2cos(pi/3) - 1 = 0 ist f'(x) = -2sin(x)
Somit:
f'(pi/3) = -2sin(pi/3) = -sqrt{3}

Schritt 3
Von der Tangentengleichung ist jetzt schonmal die Steigung m_t bekannt. Um auch b_t rauszukriegen, nutzen wir die Information, dass der Punkt, durch den die Tangente geht, also P(pi/3;0), bekannt ist. Dadurch sind uns das x und das t(x), also y das y, jetzt durch konkrete Werte ersetzbar.

Aus
t(x) = m_t x + b_t wird somit
0 = -sqrt{3} pi/3 + b_t

Das lösen wir nun nach b_t auf und erhalten
b_t = sqrt{3} pi/3

Das ergibt folgende Tangentengleichung:
t(x) = -sqrt{3}x + sqrt{3} pi/3

Schritt 4
In die allgemeine Normalengleichung werden nun analog die Werte eingesetzt (auch hier gilt x=pi/3 und y = n(x) = 0

 

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2 Kommentare:

  1. phxberlin März 28, 2014

    wenn ich jetzt die Frage hätte:
    Geben Sie den Winkel an unter dem die Tangente die x-Achse schneidet.

    Also den Arkustangens von der Steigung nimmt … kann man das dann überhaupt?

    m=-√3
    tan^(-1)(-√3) ergibt einen Error…?

    Danke dir !

    • stefan März 30, 2014

      Hey Felix,
      Dann musst Du das falsch in Deinen Taschenrechner eingegeben haben. Bei richtiger Eingabe liefert er „-60 Grad“. Minus bedeutet ja eben, dass es abwärts geht, in diesem Fall, dass der Winkel mit de Uhrzeigersinn gemessen wurde, also ist der Winkel selbst eben 60 Grad. Probier’s nochmal :-)

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